Основные понятия

Понятие СМО

Системы массового обслуживания (СМО) - это системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы на выполнение каких-либо услуг, с другой - происходит удовлетворение этих запросов.

Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике.

В борьбу за клиентов в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей.  А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение приходится потратить в 25 раз больше средств.

Во многих случаях неудовлетворенность клиент вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет фирме избежать подобных неприятностей.

Структура СМО

Системы массового обслуживания включают следующие элементы:

• Источник требований;
• Входящий поток требований;
• Очередь;
• Обслуживающие устройства (каналы обслуживания);
• Выходящий поток требований

Заявками могут быть производственные и торговые заказы, заявки на ремонт станков, посадку самолетов в аэропорту и заправку и автомобилей на автозаправочной станции. Канал обслуживания может представлять собой совокупность устройств, этап производственного процесса, аэропорт и т.д. Интервалы между последовательными заявками и продолжительность их обслуживания являются случайными величинами.

Примеры СМО

1) В торговле. Определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры

2) Склады. Установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными.

3) Расчет площади складских помещений. Складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку как требование.

4) Модель производственной фирмы, включает несколько цехов, которые последовательно участвуют в процессе производства некоторого изделия, заказы на изготовление изделия поступают в случайные моменты времени.

5) Модель управленческого звена фирмы, состоит из начальника изаместителей, которые принимают участие в приеме посетителей. В процессе моделирования требуется обеспечить одинаковую занятость участников процесса.

6) Модель бензоколонки. Количество автомобилей - случайная величина.

7) Модели в коммерческий деятельности предприятия. Коммерческая деятельность: погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация, а также операции с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени. Время их обслуживания носит также случайный характер.

Характеристики эффективности СМО

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы.

1) Показатели эффективности использования СМО:

• Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

• Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же время заявок.

• Среднеяя продолжительность периода занятости СМО.

• Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок и т.п.

2) Показатели качества обслуживания заявок:

• Среднее время ожидания заявки в очереди.

• Среднее время пребывания заявки в СМО.

• Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

• Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

• Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

• Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

• Среднее число заявок, находящихся в очереди.

• Среднее число заявок, находящихся в СМО и т.п.

3) Показатели эффективности функционирования пары "СМО - Клиент", где под "клиентом" понимают всю совокупность заявок или некий их источник.

К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.п.

Классификация СМО

1) По месту нахождения источника требований.

Разомкнутые - источник требования находится вне системы. Примером разомкнутой системы может служить ателье по ремонту телевизоров (магазины, кассы вокзалов, портов …). Здесь неисправные телевизоры — это требования, источник требований находятся вне системы, число требований можно считать неограниченным. Это система с неограниченным потоком требований.

Замкнутые - источник находится в самой системе. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником требований на их обслуживание бригадой наладчиков. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на новую накладку. В подобных системах общее число требований конечно и чаще всего постоянно.

2) По характеру образования очереди.

С ожиданием - требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

a) С ограничением на длину очереди (с ограниченным числом требований в очереди).

b) С ограничением на время пребывания в очереди (ограниченным сроком пребывания каждого требования в очереди).

С отказами - требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Примером системы с отказами является телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

3) По наличию приоритета.

Без приоритета:

a) первый пришел - первый ушел

b) последним пришел - первым ушел

с) случайный отбор

С приоритетом:

a) абсолютный приоритет

b) относительный приоритет

с) специальные правила приоритета

4) По количеству каналов.

Многоканальные:

a) с однородными каналами

b) с неоднородными каналами

с) с параллельно расположенными каналами

d) с последовательно расположенными каналами

Одноканальные

Потоки событий

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей, поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение и т.п.).

Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

Наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским). Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t k требований задается формулой:

λ – математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени

Простейший поток обладает тремя основными свойствами:

1) ординарности

2) стационарности

3) отсутствием последействия

Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков.

Стационарным называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени ∆t зависит от величины промежутка и не зависит от начала его отсчета.

Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток времени от t до t + ∆t. Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не определяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения обрыва на других станках.