Пример

Найти минимальное и максимальное значение функции.

При условиях

Решение

Определим точки безусловного экстремума целевой функции F, лежащие внутри области. Для этого найдем частные производные функции F и приравняем их к нулю.

Получаем: x₁ = 2; x₂ = 3; F(2,3) = 0.

Так как 2² + 3² = 13 < 52 следовательно, точка А(2,3) лежит внутри области.

Строим функцию Лагранжа для случая, когда ограничение имеет вид:

Вычислим частные производные функции L и приравняем их к нулю.

Первое уравнение системы домножим на x₂ , второе уравнение x₁. В результате получим:

Решая систему:

получаем два решения – две точки B(4, 6) и C(-4, -6), в которых целевая функция F может иметь экстремумы.

F(4,6) = 13, F(-4, -6) = 117.

Таким образом, минимальное значение целевой функции F_min = 0 достигается в точке А(2, 3), максимальное значение F_max = 117 в точке C(-4, -6).