Пример

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве изделий I способом затраты равны 4x₁+x₁². При изготовлении изделий II способом они составляют 8x₂+x₂². Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными

Решение

Составим математическую модель задачи.

Составим функцию Лагранжа

Вычислим частные производные функции L и приравняем их нулю.

Решая данную систему, получим: x₁ = 91; x₂ = 89.

В этой точке может быть экстремум целевой функции F. Используя вторые частные производные, можно показать, что в данной точке функция F имеет условный минимум.

F_min = 17278

Если предприятие изготовит 91 изделие I способом и 89 изделий II способом, то общие затраты будут минимальными и составят 17278 руб.