Математические методы в экономике
Главная | Задача составления рациона | Регистрация | Вход
 
Пятница, 24.11.2017, 23:07
Приветствую Вас Гость
Главное меню
Статистика
Форма входа

Задача составления рациона

Назад

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице (цифры условные).

Питательное вещество (витамин) Необходимый минимум питательных веществ Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
I II
S1 18 3 1
S2 16 1 2
S3 5 1 6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 руб.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Решение

Необходимо построить математическую модель задачи. Обозначим через x1 и x2 соответственно число единиц питательных веществ I и II вида кормов. Получим следующую модель:

В прямоугольной декартовой системе координат строим прямую 3x1 + x2 = 18, соответствующую первому неравенству системы ограничений (x1 – ось абсцисс).

Аналогично строим остальные прямые, соответствующие неравенствам системы ограничений.

Каждая прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, одна из которых является областью решений неравенства, соответствующего данной прямой. Для того чтобы определить какая из полуплоскостей является областью решений достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на данной прямой, подставить в неравенство. Подставим в первое неравенство точку O с координатами (0,0). Получаем строгое неравенство (0<18). Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений.

Аналогично находим области решений остальных неравенств и их пересечение. При этом необходимо учесть: x1 > 0 и x2 > 0. Следовательно, рассматриваем только ту часть многоугольника решений, которая лежит в I четверти декартовой системы координат.

Получаем многоугольник решений. Теперь необходимо найти точку (набор точек) в которой целевая функция принимает минимальное значение. Для этого строим нормаль линии уровня n = (4, 6) и одну из этих линий, например 4x1 + 6x2 = 100 (черная). Число 100 взято случайно.

Так как решается задача на отыскание минимального значения целевой функции задачи, передвигаем прямую 4x1 + 6x2 = 100 в направлении, противоположном направлению нормали n, до последней общей точки прямой с многоугольником решений задачи.

Получаем точку (X) пересечения прямых (красной и синей), ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2). Определяем координаты точки (Х) пересечения, решая систему:

Получаем Х = (4, 6). Вычисляем целевую функцию. F (X) = 4*4+6*6=52.

Результат: максимальное значение целевая функция принимает при Х = (4, 6).


Copyright MyCorp © 2017Бесплатный конструктор сайтов - uCoz