Математические методы в экономике
Главная | Задача об использовании ресурсов | Регистрация | Вход
 
Понедельник, 25.09.2017, 17:56
Приветствую Вас Гость
Главное меню
Статистика
Форма входа

Задача об использовании ресурсов

Назад

Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3, S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице (цифры условные).

Вид ресурса Запас ресурсов Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
P1 P2
S1 18 1 3
S2 16 2 1
S3 5 - 1
S4 21 3 -

Прибыль, получаемая от единицы продукции P1 и P2, ˗˗ соответственно 2 и 3 рубля.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение

Необходимо построить математическую модель задачи. Обозначим через x1 и x2 соответственно число единиц продукции Р1 и Р2. Получим следующую модель:

В прямоугольной декартовой системе координат строим прямую x1 + 3x2 = 18, соответствующую первому неравенству системы ограничений (x1 – ось абсцисс).

Аналогично строим остальные прямые, соответствующие неравенствам системы ограничений.

Каждая прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, одна из которых является областью решений неравенства, соответствующего данной прямой. Для того чтобы определить какая из полуплоскостей является областью решений достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на данной прямой, подставить в неравенство. Подставим в первое неравенство точку O с координатами (0,0). Получаем строгое неравенство (0<18). Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений.

Аналогично находим области решений остальных неравенств и их пересечение. При этом необходимо учесть: x1 > 0 и x2 > 0. Следовательно, рассматриваем только ту часть многоугольника решений, которая лежит в I четверти декартовой системы координат.

Получаем многоугольник решений. Теперь необходимо найти точку (набор точек) в которой целевая функция (прибыль от реализации продукции) принимает максимальное значение. Для этого строим нормаль линии уровня n = (2, 3) и одну из этих линий, например 2x1 + 3x2 = 0 (черная).

Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой.

Получаем точку (X) пересечения прямых (красной и синей), ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (1) и (2). Определяем координаты точки (Х) пересечения, решая систему:

Получаем Х = (6, 4). Вычисляем целевую функцию. F (X) = 2*6+3*4=24.

Результат: максимальное значение целевая функция принимает при Х = (6, 4).


Copyright MyCorp © 2017Бесплатный конструктор сайтов - uCoz