Математические методы в экономике
Главная | Виды СМО | Регистрация | Вход
 
Понедельник, 25.09.2017, 17:59
Приветствую Вас Гость
Главное меню
Статистика
Форма входа

Виды СМО

1. СМО с отказами

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

а) Одноканальная СМО с отказами

Наиболее простой из рассматриваемых задач в рамках теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами. В данном случае количество каналов равно 1. Этот канал принимает пуассоновский поток заявок. Если заявка прибыла в канал, который в данный момент не является свободным, она получает отказ и больше не числится в системе.

Показатели эффективности

A – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой (или вероятность того, что пришедшая заявка будет обслужена).

Pотк – вероятность отказа – вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной.

λ — среднее число требований, поступающих за единицу времени, 1/μ — среднее время обслуживания одним каналом одного требования.

Пример

В фирму поступает простейший поток заявок на телефонные переговоры с интенсивностью λ = 90 вызовов в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение

б) Многоканальная СМО с отказами

В многоканальных СМО имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ . Поток каждого канала имеет интенсивность μ. Если в момент прибытия заявки нет свободных каналов, то эта заявка получает отказ и больше не числится в системе.

Показатели эффективности

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов

3. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, превосходит число обслуживающих аппаратов

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты

5. Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена

6. Абсолютная пропускная способность получается умножением интенсивности заявок на относительную пропускную способность

7. Среднее число каналов занятых обслуживанием

8. Среднее время ожидания начала обслуживания в системе

9. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

10. Коэффициент простоя каналов:

11. Коэффициент загрузки каналов

Пример

В фирму поступает простейший поток заявок на телефонные переговоры с интенсивностью λ = 90 вызовов в час, а средняя продолжительность разговора по телефону = 2 мин. Определить оптимальное число телефонных номеров в фирме, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100 заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.

Решение

2. СМО с ожиданием

a) Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ . Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Далее предполагаем, что в системе имеется ограничение на длину очереди, предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m (m≥1) заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему не обслуженной.

Основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием

1. Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени

2. Абсолютная пропускная способность системы

3. Среднее число заявок в очереди Lоч определяется как математическое ожидание случайной величины – числа заявок, стоящих в очереди:

4. Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки в очереди Tоч . которая называется формулой Литтла

т.е. среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди ,деленному на интенсивность λ входящего потока заявок

5. Вероятность отказа

Пример

На АЗС имеется одна колонка. Площадка, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить основные характеристики системы.

Решение

б) Одноканальная СМО с неограниченным ожиданием

Если λ > μ (α > 1), т.е. среднее число заявок, поступивших в систему за единицу времени, больше среднего числа обслуживаемых заявок за то же время при непрерывно работающем канале, то очевидно, что очередь неограниченно растет. В этом случае предельный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует (они равны нулю).

В случае λ = μ (α = 1) при условии, что входящий поток заявок и поток обслуживаний регулярные (заявки поступают через равные интервалы времени, и время обслуживания одной заявки является постоянным, равным интервалу времени между поступлениями заявок), очереди не будет и канал будет обслуживать заявки непрерывно.

Но если входящий поток или поток обслуживаний становится случайным, очередь начинает расти до бесконечности. Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что λ < μ ,т.е. α < 1. При этом условии с течением времени устанавливается предельный режим, и предельные вероятности состояний существуют.

При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю Pотк = 0. Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему,так же как и относительная пропускная способность равна единице Q = 1 - Pотк = 1.

Тогда для абсолютной пропускной способности A (и интенсивности выходящего потока) будем иметь: A = λQ = λ , т.е. интенсивности входящего и выходящего потоков совпадают.

Основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием

1. Среднее число заявок в очереди

2. Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно

3. Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени заявки в очереди и среднего времени обслуживания заявки :

Пример

В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, так и во вторую – с 15 до 21, работают по одному мастеру. Определить ежедневный «чистый» доход каждого мастера, если он получает только 30% от выручки (остальное уходит на оплату аренды, налоги, и проч.).

Решение


Copyright MyCorp © 2017Бесплатный конструктор сайтов - uCoz